[수학] 벡터에서 공간(space)의 개념

http://rightnews.co.kr/12

[확률] 표본공간에 대하여...

위 글에 이어서 설명을 하자면 벡터는 선형성을 가지며 서로 가산되어 스컬러로 신축할 수 있다고 하였다. 벡터가 선형성을 갖는 이유는 벡터 공간의 요소이며 선형성이 확보된 것이기 때문이다.

벡터 공간(선형 공간이라고도 함)은 벡터라 불리는 객체의 집합으로 스칼라라라 불리는 수치로 가산 및 다중화("스케일링") 된다.

 

동쪽의 화살표와 북쪽의 화살표와 같은 공간을 구성하는 벡터를 기저 벡터라고 불러. 여기서 특수 사이즈가 1인 기저 벡터를 표준 기저 벡터라고 한다.

표준 기저 벡터를 이용함으로써 동서남북 공간에 존재하는 모든 벡터를 수식으로 나타낼 수 있다. 동쪽이 x이고 북쪽이 y인 경우, 공간에 존재하는 벡터 v는 다음 식으로 나타낼 수 있습니다. 이것을 선형결합이라고 부른다.

표준 베이스 벡터 x와 y에 스칼라 값을 곱해 벡터를 생성하는 과정은 스팬된 것으로 수학적으로 표현된다. 게임에서 몬스터를 생성할 때는 산란이라는 표현을 사용합니다.

스펀된 벡터는 항상 벡터 공간 V에 속해. 바꾸어 말하면, 벡터 공간이란, 스펀 가능한 모든 벡터가 모이는 장소다. 이것을 수학적으로 설명하면 이런 느낌이다.

벡터 공간은 두 개의 기저 벡터로 구성되기 때문에 2차원 벡터 공간으로 불린다. 벡터 공간에서 차원수는 표준 기저 벡터의 수를 의미한다.

벡터 공간은 아예 선형 공간으로 불린다. 벡터 공간은 덧셈 가능한 벡터와 스칼라를 곱할 수 있는 벡터로 구성되는 공간으로 기술되는데, 이것은 첫 번째 문장에서 말한 직선성과 같은 의미이다. 벡터 자체의 정의는 선형 객체이다.

이 벡터들이 합쳐지면 어떻게 될까? 벡터는 전문적으로는 원칙적으로 표현할 수 없지만 원점에 근거한 화살표로 시각화를 시도했다. 이처럼 원점을 기준으로 수많은 벡터가 생성되면 원점을 중심으로 한 공간이 형성된다.

이들 벡터 중 다수는 일부 벡터가 서로 영향을 미치지 않을 것으로 우려하고 있다. 기울어 진 화살은 동쪽과 북쪽을 향합니다. 그러나 동쪽 화살표는 북쪽을 직접 가리 키므로 도움이 필요하지 않다. 마찬가지로 북쪽 화살표는 반드시 동쪽 화살표 일 필요는 없다. 이런 식으로 동쪽의 화살표와 북쪽의 화살표를 선형 독립이라고 힌다. 서쪽 화살표는 동쪽에서 화살표와 북쪽에서 화살표를 곱하여 얻으므로 동서의 4 방향 화살표를 북동쪽으로 결합 할 수 있다.