[삼각함수 2편] 덧셈정리 공식을 풀어보자

삼각함수의 덧셈정리는 sin, cos, tan 각 2개씩 총 6개의 공식이 있습니다.

공식은 무조건 외우는 것도 좋지만 외우기 전에 증명하는 과정을 보면 수학이 더 재밌습니다. 사실 공식은 뭔가 문제를 풀 때 대입을 해서 값을 얻어내는 도구라고 생각하는 경향이 짙은 것 같습니다. 그러나 수학의 목적은 공식을 외워서 문제를 푸는 것이 아니라 공식이 나오는 과정, 연역적인 과정을 보고 이해함으로써 사고력을 증진시키는 것이 오히려 궁극적인 목표라고 할 수 있습니다. 당장에 문제를 더 푸는 것보다는 사고력을 신장시켜서 문제 해결력을 늘이는 것이 더욱 중요합니다. 그런 의미에서 공식만 외우고 증명과정을 무시하시보다는 오히려 증명과정에 더욱 관심을 갖고 식이 어떻게 논리적 수학적으로 연결되는지 잘 지켜보는 과정이 더욱 중요하겠습니다.

 

sin(α +β) = sinα cosβ + cosα sinβ

sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ

 

cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ

cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ

 

tan(α + β) = (tanα + tanβ) /  (1 - tanα tanβ)

tan(α - β) = (tanα - tanβ) /  (1 + tanα tanβ)

 

코사인 덧셈정리부터 증명을 하자면 아래 그림과 같습니다. 삼각형의 내각을 알파(α) 외각을 베타(β)라고 하였을 때 증명입니다. 참고로 선분 OQ 와 OP 는 동일한 반지름이니까 POQ 는 이등변삼각형이라는 사실도 알 수 있네요. 

 

코사인 덧셈정리 증명

 

다음은 사진 덧셈정리입니다. 증명을 하기에 앞어서 우리는 코사인과 사인의 π/2 (90도) 의 차이가 있다는 것을 짚고 갑시다. 이는 sin 그래프와 cos 그래프를 보면 쉽게 이해가 갈 것 입니다. 사인곡선과 코사인곡선은 파동곡선마냥 일정하게 파동모양의 그래프를 그리고 있습니다. 한편 탄젠트는 높이 / 밑변 이기 때문에 밑변의 길이 작아지거나 높이가 커질수록 무한히 커지게 됩니다. lim 개념을 사용하면 무한대로 가게 되지만 밑변의 길이가 0인 삼각형은 삼각형이라고 볼 수는 없기 때문에 lim 개념을 사용하게 되는 것입니다.

사인곡선과 코사인곡선 그래프

그럼 이를 이용하여 sin 덧셈정리를 증명하자면

 

sin 덧셈정리 증명

 

마지막은 tan 덧셈정리를 증명해보겠습니다.

 

 

위와 같이 정리할 수 있겠습니다. 삼각함수 덧셈정리가 복잡한듯 하지만 증명을 통해서 이해를 하는 과정을 반복하다보면 사고력과 논리력이 성장하게됨을 느낄 수 있을 것입니다. 어렵지만, 공식은 그냥 외우는거지라고 생각하지말고 시간을 가지고 천천히 훑어보고 스스로 증명해보면 수학을 이해하는데 많은 도움이 되실 것입니다.

 

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