수학공부

[확률] 확률을 쉽게 풀어서 정의하자면

어떠한 일(사건)이 발생할 가능성을 숫자로 나타낼 수 있을까요. 이 확률이라는 개념은 우리가 잘 아는 파스칼이라는 사람이 개념 확립을 시켰습니다. 확률은 정말 많은 분야에 사용되지만 우리가 평소 확률하면 떠올리는 분야는 카드게임이나 포커등을 떠올릴 수 있습니다. 그런데...! 결국 %로 나타내는 확률이라는 것은 결과는 0 아니면 1 입니다. 다른 말로 맞거나, 혹은 틀리거다. 옳거나, 거짓이거나. 결과가 두가지 갈래로 나뉜다는 것이지요. 그렇다면 확률은 100%나 0%가 아닌 이상 현재 앞에 있는 사건이 일어날지 안날지는 아무도 정확히 알 수가 없습니다. 그렇다면 이 퍼센테이지의 의미는 왜 있는 것일까요? 이 퍼센테이지(%)는 한번이 아닌 여러번 시도가 있었을 때 사건이 일어난 횟수, 그것도 과거의 데이..

카테고리 없음 2020. 8. 9. 20:49

[수학] 1차방정식

좌표 평면에 두 개의 직선 l : y = mx + n, l ': y = m'x + n' 이 병렬 조건을 살펴 보자. 오른쪽에 표시된 것처럼 두 직선 l과 l '은 평행입니다. 두 개의 직선이 x 축의 양의 방향을 형성 할 때 각도는 동일하며 y 축 절편이 다릅니다. 모두. 즉, 기울기가 동일하고 y 절편이 다르기 때문에 m = m ', n + n' 이다. 대조적으로, m = m ', n + n'이면, 2 개의 직선 l 및 l '은 서로 평행하다. 반면에 m = m '및 n = n'이면 두 직선 l과 l '에 동의하며 그 반대도 마찬가지입니다. 방정식은 y = mx + b이고 기울기는 m이고 y 절편은 b입니다. 에서 배운 이제 좌표 평면에서 점 A (x¡, y¡)를 통과 한 다음 방정식을 봅시다. 점 A..

카테고리 없음 2020. 6. 26. 17:27

중학생들을 위한 수학사와 흥미

많은 학생들이 수학을 중요한 과목이라고 생각하시만 흥미를 느끼지는 못하고 있다는 사실에 동의하실 것입니다. 기초학문으로서 수학이 갖는 의의는 상당히 큽니다. 그러나 학교에서는 입시 준비를 위해 수학의 기능만 강조되고 본질적인 학습은 등한시 되어 있는 것 같아 안타깝습니다. 문제를 해결하기 위한 학생들의 문제해결능력을 배양하기 위해서는 학생들의 흥미를 자극할만한 컨텐트에 관한 연구가 지속되어야 할 것입니다. 많은 연구들이 진행되겠지만 학생들이 수학에 대해 갖는 인식은 좀처럼 쉽게 바뀌지 않고 있습니다. 학생들의 관심을 좀 더 갖게 할만한 방법으로 수학사에 대한 배경지식을 가르치는 것은 어떨까요. 수업에 필요한 수학사를 구체적이고 실용적으로 학습시킬 수 있는 자료들의 개발이 필요합니다. 지금 교육과정은 학년..

카테고리 없음 2020. 6. 25. 11:25

생활속의 문제를 수학화하여 교육하는 방법

인생의 문제를 수학적으로 표현하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 교육 도구를 사용하는 방법. PC, 그림, 이야기, 드라마 등의 만화를 사용하는 GSP 서구 수학으로 변환 할 수 있지만 여기서는 생활 수학을 수학으로 변환 할 수 있습니다. 그들이 할 수 있을뿐만 아니라 수학 학습을 비교적 쉽게 할 수 있습니다. 여기에는 공통점이 몇 가지 있습니다. 몇 가지 다른 방법을 살펴 보겠습니다. 먼저 새로운 수학 교육 이론이 있습니다 혹자는 "게임"을 통해 수학 학습을 건설적인 활동으로 보는 일련의 수학 학습 경험에서 특정 수학 자료를 사용하는 게임을 옹호하는 수학 학습은 학생들의 고유한 부분임을 강조합니다. 학습을 바탕으로 수학, 숫자의 경우 수학 학습을 "게임"으로 구성 학습 조건에서 신체 구조를 포함한 수..

카테고리 없음 2020. 6. 24. 20:49

[삼각함수 4편] sec, cosec, cot 사인과 코사인 탄젠트의 역수

삼각함수는 기본적으로 사인과 코사인, 탄젠트를 기본으로 하여 아주 많은 변형된 함수들이 있습니다. 예를 들자면 탄젠트는 높이를 밑변으로 나눈 값을 의미하는데 그게 반대로 밑변을 높이로 나눈 값은 어떻게 표현하나? tanθ 의 역수이니까 1 / tanθ 라고 표현할수도 있겠지요. 이거를 '코탄젠트' 라고 표현합니다. 쓸 때는 cotθ 라고 작성하구요. 사인과 코사인도 마찬가지입니다. 그럼 정리해볼까요? secθ (시컨트)= 1 / cosθ cosecθ (코시컨트) = 1 / sinθ cotθ (코탄젠트) = 1 / tanθ 위와같이 표현됩니다. 예전에 우리는 sin²θ + cos²θ = 1 이라는 공식을 유도해보았습니다. 기억이 안나시거나 못보신 분은 참고하세요 https://rightnews.co.kr/..

카테고리 없음 2020. 6. 24. 10:52

[삼각함수 2편] 덧셈정리 공식을 풀어보자

삼각함수의 덧셈정리는 sin, cos, tan 각 2개씩 총 6개의 공식이 있습니다. 공식은 무조건 외우는 것도 좋지만 외우기 전에 증명하는 과정을 보면 수학이 더 재밌습니다. 사실 공식은 뭔가 문제를 풀 때 대입을 해서 값을 얻어내는 도구라고 생각하는 경향이 짙은 것 같습니다. 그러나 수학의 목적은 공식을 외워서 문제를 푸는 것이 아니라 공식이 나오는 과정, 연역적인 과정을 보고 이해함으로써 사고력을 증진시키는 것이 오히려 궁극적인 목표라고 할 수 있습니다. 당장에 문제를 더 푸는 것보다는 사고력을 신장시켜서 문제 해결력을 늘이는 것이 더욱 중요합니다. 그런 의미에서 공식만 외우고 증명과정을 무시하시보다는 오히려 증명과정에 더욱 관심을 갖고 식이 어떻게 논리적 수학적으로 연결되는지 잘 지켜보는 과정이 ..

카테고리 없음 2020. 6. 23. 20:51

[수학] 벡터에서 공간(space)의 개념

http://rightnews.co.kr/12 [확률] 표본공간에 대하여... 확률이라는 것은 결과를 알 수 없는 상황에서 일어날 일에 대한 기대감을 숫자로 표현한 것이라고 볼 수 있습니다. 이 가능성이라는 것에 대한 연구는 계속 되어왔는데 확률이라는 것이 제공하� rightnews.co.kr 위 글에 이어서 설명을 하자면 벡터는 선형성을 가지며 서로 가산되어 스컬러로 신축할 수 있다고 하였다. 벡터가 선형성을 갖는 이유는 벡터 공간의 요소이며 선형성이 확보된 것이기 때문이다. 벡터 공간(선형 공간이라고도 함)은 벡터라 불리는 객체의 집합으로 스칼라라라 불리는 수치로 가산 및 다중화("스케일링") 된다. 동쪽의 화살표와 북쪽의 화살표와 같은 공간을 구성하는 벡터를 기저 벡터라고 불러. 여기서 특수 사이즈..

카테고리 없음 2020. 6. 23. 10:49

[수학] 벡터(vector) 에 관한 이해

벡터라는 개념은 수학에서 다루어 지지만 컴퓨터 그래픽에서 아주 중요하게 다루어진다. 우리에게 널리 알려진 포토샵이라던지, 일러스트레이트 같은 이미지 제작 프로그램에서는 벡터라는 개념이 필수적으로 사용된다. 수학에서 벡터라는 개념은 공간을 이루는 단위 원소를 뜻하는데, 언뜻 정의만 봐서는 이해하기가 쉽지는 않다. 일단 공간이라는 것을 이해하기 위해 3차원 공간개념을 이해해야 합니다. 보통은 우리가 xyz 좌표로 나타내기도 한다. 벡털라는 개념은 나타난지 그리 오래되지는 않았다. 18세기 초 정도로 볼 수 있다. 컴픁처 그래픽에서는 벡터라는 개념이 비율과 무한한 개념인 직선을 기준으로 나타난다. 해상도를 생각해보면 간단하다. 우리는 보통 픽셀(pixel)이라는 용어를 컴퓨터를 하면서 자주 쓰는데 픽셀값이 높..

카테고리 없음 2020. 6. 22. 21:42

[확률] 표본공간에 대하여...

확률이라는 것은 결과를 알 수 없는 상황에서 일어날 일에 대한 기대감을 숫자로 표현한 것이라고 볼 수 있습니다. 이 가능성이라는 것에 대한 연구는 계속 되어왔는데 확률이라는 것이 제공하는 숫자가 사람들의 결단에 아주 많은 도움을 제공합니다. 이 확률론을 논하기 전에 표본공간이라는 것을 알아야 합니다. 영어로는 sample space라고 부릅니다. 이는 어떤 실험이나 시행의 결과를 함께 모아둔 집합이라고 보면 되겠습니다. 이 표본공간을 보통 S로 표기합니다. 아까 말한 실험이나 실행은 결과를 예측할 수 없습니다. 주사위를 던지면 어떠한 숫자가 나올 확률은 1/6 이라고 쉽게 말할 수 있지만, 지금 당장 주사위를 던졌을때 이것이 뭐가 나올지는 예측할 수 없습니다. 다만 던지고 나서 결과값들을 모아 놓은 것을..

카테고리 없음 2020. 6. 22. 09:23

확률의 정의와 개념

일반적으로 우리가 매일 사용하는 확률은 어떤 일이 일어날 확률이나 신념의 정도를 나타냅니다. 대화에서 어떤 일이 일어날 확률이 매우 높거나 낮다고 말하지만 실제로는 모호합니다. 이를 숫자로 표현된 특정 형식을 사용하면 둘 이상의 이벤트가 발생할 가능성을 쉽게 비교할 수 있습니다. 다시 이야기하자면, 사건 A의 확률에 번호를 매길 때, 사건 A에 대응하는 0과 1 사이의 숫자는 사건 A가 발생할 확률이며, 주로 P (A)로 설명됩니다. 보통 통계적 확률이라함은 다음과 같이 정의됩니다. 작업이 반복되고 N 시행에서 이벤트 A의 발생 횟수가 n (A) 인 경우 이벤트 A의 상대 수는 다음과 같이 표시 될 수 있습니다. P(A) = 사건A의 경우의 수 / 전체(표본) 경우의 수 이 보다 더 단순한 확률의 정의로..

카테고리 없음 2020. 6. 21. 08:11

수학의 신동 블레즈 파스칼

파스칼(Blaise Pascal)은 1623 년 6 월 19 일 프랑스 클레르 몽 페랑에서 태어 났습니다. 회계사인 아버지 에티엔 파스칼의 아들로 태어난 그는 아주 어린 나이에 수학 천재라는 이름이 아깝지 않을 정도로 뛰어난 재능을 보여주었습니다. 1654 년 말에 그는 신학에 빠지기 시작했습니다. 말년에 그는 치통과 두통을 앓고 있었고 정상적으로 잠을 잘 수 없었지만 두통을 잊기 위해 사이클로이드 침술을 연구하고 수학 발달에 큰 공헌을 하였습니다. 안타깝게도 1662 년 8 월 19 일 누나의 집에서 39 세의 나이에 경련 발작을 일으켜 숨지고 말았습니다. 블레이즈 파스칼은 27 세에 종교에 관심을 기울이고 수학과 과학을 중단하였기에 "거의 수학에서 가장 위대한 사람이되었습니다"라고 알려져 있습니다. ..

카테고리 없음 2020. 6. 20. 20:05

수학자 피타고라스 학파

오늘은 쉬어가는 의미에서 수학자 피타고라스에 대해서 알아보겠습니다. 그는 수학자로 널리 알려져있고 유명한데, 수학자이자 철학자라는 사실을 알고 계셨나요? 그는 이오니아 그리스 철학자이며 종교 단체의 수장이라는 사실! 피타고라스에 관한 많은 알려진 정보는 그가 사망하고 나서 수백년 후에 기록된 것이라고 믿을만한 정보가 그리 많지는 않습니다. 상인의 아들로 태어난 그는 부모님들로부터 엄격한 교육을 받았다고 알려져있습니다. 그림, 음악, 스포트는 물론 상인인 아버지로부터 장사도 배웠다고 합니다. 이집트에서 유학을 한 그는 신전을 다니며 기하학과 천문학을 배웠는데 그 때 신비한 사상에 빠졌다고 합니다. 이후 그는 학교를 설립합니다. 그리고 그 학교에서 많은 정치인과 철학자들을 배출하였는데 이들을 피타고라스 학파..

카테고리 없음 2020. 6. 20. 08:20

[삼각함수 6편] 각도를 구하는 방법

코스에서 cos / sin / tan의 의미를 알게되면 먼저 기본 각도의 가치를 배우게됩니다. 대학과정에서는 cos30˚, 45˚ 및 60˚의 값을 기억할 필요가 없습니다. 과학적인 계산기로 해결할 수 있으니까요. 대학에서는 위의 기본 각도 외에도 많은 각도를 계산해야 하지만 일일이 34˚ 및 47˚의 같은 각도마다 값을을 기억할 수는 없습니다. 그런데 중학교와 고등학교에서는 기본 각도의 값을 알아야하죠. 30˚, 45˚, 60˚ 이 세가지만 외워두면 됩니다. 외워두면 편리하지만 외우는 과정에 이해를 하게 되면 더욱 좋지요. 이 각도의 값을 이해를 먼저 해보겠습니다. 삼각형 30도와 60도 값은 밑변 : 높이 : 빗변의 비율이 1:√3:2의 비율을 가지고 있습니다. 이것은 직각삼격형이기 때문에 피타고라스..

카테고리 없음 2020. 6. 19. 07:47

유클리드의 기하학, 에우클레이데스?

유명한 수학자지만 알려진 바가 많지 않은 유클리드. 그는 기하학으로 아주 유명합니다. 오늘은 그에 대해서 조금만 이야기해보겠습니다. 기하학의 시작은 이집트라고합니다. 기원전 5세기의 그리스 역사가 헤로도투스는 이집트 여행 메시지를 남겼는데 거기에서 기하학에 대한 이야기를 찾을 수 있습니다. 당시 과세를 위해 다양한 유형의 토지를 측정하는 기술이 개발되었습니다. "세금을 매기기 위하여 토지를 측량하였다. 나일강에 홍수가 나면 범람한 것은 제외하고 과세하였다. 기하학이란 결국 지배 계급에게 가장 기본적인 과세 원천이되었다. 기하학은 기본적으로 토지를 측정하고있다. 그럼에도 불구하고 이집트 기하학은 실용적인 목적으로만 사용되며 체계적인 이론은 그리스 수학자에게 맡겨져 있었습니다. 유클리드의 명성에 대해서는 알..

카테고리 없음 2020. 6. 18. 08:18

[삼각함수 5편] 삼각함수의 활용

오늘은 좀 쉬운 이야기로 돌아가보겠습니다. 삼각함수는 각과 변을 중심으로 하는 '비율'이 핵심입니다. 옛날 사람들은 이 삼각법이라고 하여 천문등을 볼때 활용했다고 합니다. 사인 함수와 코사인함수를 활용하여 일상생활에서 응용하게 된 것은 언제부터 일까? 그 전에 일단 사인법치고가 코스인 법칙부터 알아보겠습니다. 사인법칙 a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R (여기서 R은 삼각형 외접원의 반지름) 코사인 법칙 a² = b² + c² - 2bc cosA 뱃사람들은 항해를 하면서 두 공식을 활용하였다. 길에서 위치를 찾는 것 역시 마찬가지이다. 요즘은 네비게이션(!)이 나의 위치를 다 알려주는 시대이지만 옛날 같은 경우에는 지도가 있더라도 나의 위치가 정확히 어디인지 알기는 어려웠을 ..

카테고리 없음 2020. 6. 17. 11:08

[삼각함수 3편] 삼각함수 배각 공식과 반각공식

지난 시간에 삼각함수의 기본과 덧셈정리를 알아보았습니다. https://rightnews.co.kr/2 [삼각함수 1편] 삼각함수의 기본함수를 알아보자 안녕하세요. 날씨가 오늘은 많이 눅눅한데 선선한 바람이 불어 기분은 좋네요 수학을 포기하는 사람들이 어려워하는 삼각함수를 기본부터 천천히 배워봅시다 삼각함수는 삼각형에서 변의 길이 rightnews.co.kr https://rightnews.co.kr/3 오늘은 삼각함수의 배각공식과 반각공식을 알아보겠습니다. 배각공식이란 삼각함수의 각이 두배인 경우는 그 절반각과의 관계를 알아보는것입니다. 삼각함수의 그래프는 보신것처럼 올라갔다 내려왔다의 반복이기에 이와 같이 다양하게 응용하는 공식들을 볼 수 있는 것입니다. 그럼 배각공식을 먼저 살펴보겠습니다. sin2..

카테고리 없음 2020. 6. 15. 19:20

[삼각함수 1편] 삼각함수의 기본함수를 알아보자

안녕하세요. 날씨가 오늘은 많이 눅눅한데 선선한 바람이 불어 기분은 좋네요 수학을 포기하는 사람들이 어려워하는 삼각함수를 기본부터 천천히 배워봅시다 삼각함수는 삼각형에서 변의 길이, 그리고 각도를 연관하여 비율을 함수한 것입니다. '함수'라는 개념을 어려워하는 분들이 많아서 일단 함수 개념을 먼저 잡고 가보겠습니다. 우리가 학교 다닐때 교과서에서는 처음 함수를 접하는 학생들에게 알 수 없는 말로 함수를 정의해놓았습니다. 첫번째 집합의 임의의 한 원소를 두번째 집합의 오직 한 원소에 일대일로 대응시키는 관계라고 하는데 이거 무슨말인지 이해하기가 어렵지요. 쉽게 말해서 함수는 어떠한 값(x)을 넣으면 이것이 함수에 의해서 어떤 값(y)으로 나오게 되는데 이렇게 어떠한 값이 어떠한 값으로 나오게 해는 관계식을..

카테고리 없음 2020. 6. 13. 21:33